FRAÇÕES ALGÉBRICAS

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A finalidade da disciplina matemática é contribuir para a formação integral do aluno, auxiliando-o em seu cotidiano e desenvolvendo o seu raciocínio lógico, a capacidade crítica e a criatividade.

Fatoração?!!!

Fatorar nada mais é que transformar em fatores, ou seja, transformar qualquer número, diferente de zero, em uma multiplicação de dois ou mais números.

Vejamos:

4 = 1.4 = 4.1 = 2.2.1 = 1.2.2 = 2.2

16 = 1.16 =1.4.4 = 1.4.4 = 2.2.4= 2.2.2.2

Cada um dos números da multiplicação recebe o nome de fator

Assim, quando chegamos ao ponto em que não mais podemos transformar um número em multiplicação de outros, temos que, os fatores são números primos.

Observamos ainda que, quando transformamos um número em dois fatores e estes forem necessariamente 1 e o próprio número, então o número fatorado é primo.

Então, eis o FATORANDO¹, uma atividade lúdica que nos permite fixar os conceitos aprendidos sobre fatoração de um modo bastante interessante.

O Jogo “Fatorando” possui os seguintes componentes:

1. Tabuleiro com 28 espaços circulares interligados; (Figura 1)

2. 28 fichas circulares contendo, em cada uma, um número primo; (Figura 2)

3. 20 fichas retangulares contendo, em cada uma, um número para ser fatorado, e estão divididas em 3 níveis de dificuldade: (Figura 3)

• NÍVEL 1 (FÁCIL) - 5 fichas com números de 2 algarismos (amarelos);
• NÍVEL 2 (MÉDIO) – 10 fichas com números de 3 algarismos (azuis);
• NÍVEL 2 (DIFÍCIL) – 5 fichas com números de 4 algarismos (vermelhos).

4. Cartela para cálculos; (Figura 4)

5. 2 botões de cores diferentes, um para cada jogador;

6. 1 dado.

Figura 1

Figura 3

Figura 2 Figura 4

As regras do jogo Fatorando são:

1. Número de participantes: 2 jogadores;

2. Cada participante deverá ter um botão;

3. Os participantes devem embaralhar as peças circulares que contêm os números primos, e colocá-las sobre o tabuleiro, com a face voltada para baixo, nos espaços circulares do tabuleiro;

4. Em seguida, devem colocar as peças retangulares que contêm os números naturais sobre a mesa, e separá-las de acordo com o nível de dificuldade (amarelos, azuis e vermelhos) em três blocos com a face voltada para baixo;

5. Define-se, no início, a ordem em que cada jogador vai jogar. Em seguida, cada jogador deve pegar uma peça retangular do nível 1(fácil) e colocar sobre a cartela para cálculos (figura 6);

6. O jogo tem início com um jogador lançando o dado e fazendo seu botão percorrer tantas casas quantas as que foram indicadas na face superior do dado, em qualquer direção do tabuleiro;

7. O primeiro jogador deverá virar a peça circular da casa em que parou e verificar se o número que sorteou do tabuleiro pode ou não dividir o número de sua cartela de cálculos. Se der, ele coloca a peça sorteada do tabuleiro sobre a cartela de cálculos (Figura 6), faz a divisão na cartela de cálculos e, fica com a peça sorteada passando a vez para o outro jogador. Caso a peça sorteada do tabuleiro não der para dividir o número o jogador coloca a peça de volta com a face voltada para baixo e passa a vez para o outro jogador.

Fatoração de expressões algébricas

Consiste em transformar expressões algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores.

Ex.: mx + my = m.(x+y)

Podemos fatorar as expressões algébricas das seguintes maneiras:

1) Fator Comum em evidência

Quando os termos apresentam fatores comuns

Observe o polinômio:
mx + my → ambos os termos apresentam o fator m.

Assim, colocando m em evidência, temos

mx + my = m.(x+y) → Forma fatorada

2) Fatoração por agrupamento

Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.

Como, por exemplo,
mx + my + nx + ny
Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:

m.(x+y) + n.(x+y)

Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim, colocando-o em evidência,

(x+y).(m+n)

Ou seja, mx + my + nx + ny = (x+y).(m+n).

3) Fatoração por diferença de quadrados:

Implica em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado

Assim, a² - b² = (a + b).(a - b)

4) Fatoração do trinômio quadrado perfeito:

O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.

Por exemplo, os trinômios (a² + 2ab + b²) e (a² - 2ab + b²) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a + b) e (a - b) ao quadrado, respectivamente.

(a + b)² = a² + 2ab + b² (a – b) = a² - 2ab + b²

*Convém lembrarmos que ao fatorarmos uma expressão algébrica, devemos fatorá-la por completo.

Outros casos de fatoração:

1) x³ + y³=(x + y).(x² - xy+y²)

2) x³ - y³ = (x – y).(x² + xy + y²)

3) x² + y² = (x² + 2xy + y²) – 2xy = (x + y + √2xy)

Referências: http://www.exatas.mat.br/fatoracao.htm

http://sites.ffclrp.usp.br/laife/teia/Arquivos/Apostilas

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[1] Uma criação de Danielle Edvirgens Resende e Dilliani Aparecida Costa, quando alunas do 5º período de licenciatura em Matemática do Centro Universitário de Lavras (Unilavras) em Minas Gerais.

Equação do Primeiro Grau

1. Introdução

Consideremos as três igualdades abaixo:

1ª) 2 + 3 = 5

2ª) 2 + 1 = 5

3ª) 2 + x = 5

Dizemos que as duas primeiras igualdades são sentenças matemáticas fechadas, pois são definitivamente falsas ou definitivamente verdadeiras. No caso, a primeira é sempre verdadeira e a segunda é sempre falsa.

Dizemos que a terceira igualdade é uma sentença matemática aberta, pois pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor atribuído à letra x. No caso, é verdadeira quando atribuímos a x o valor 3 e falsa quando o valor atribuído a x é diferente de 3. Sentenças matemáticas desse tipo são chamadas de equações; a letra x é a variável da equação, o número 3 é a raiz ou solução da equação e o conjunto S = {3} é o conjunto solução da equação, também chamado de conjunto verdade.

Exemplos:

1º) 2x + 1 = 7

3 é a única raiz, então S = {3}

2º) 3x – 5 = –2

1 é a única raiz, então S = {1}

2. Resolução de uma Equação

Resolver uma equação é determinar todas as raízes da equação que pertencem a um conjunto previamente estabelecido, chamado conjunto universo.

1º) Resolver a equação:

x² = 4 em R

As raízes reais da equação são –2 e +2, assim:

2º) Resolver a equação:

x² = 4 em N

A única raiz natural da equação é 2, assim:

Na resolução das equações, podemos nos valer de algumas operações e transformá-las em equações equivalentes, isto é, que apresentam o mesmo conjunto solução, no mesmo universo.

Vejamos algumas destas propriedades:

P1) Quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, esta permanece verdadeira.

Consequência:

Observemos a equação:

x + 2 = 3

Subtraindo 2 nos dois membros da igualdade, temos:

x + 2 = 3 X + 2 -2 = 3 - 2

Assim:

x + 2 = 3 x = 1

P2) Quando multiplicamos ou dividimos os dois membros de uma igualdade por um número diferente de zero, a igualdade permanece verdadeira.

Consequência:

Observemos a equação:

–2x = 6

Dividindo por –2 os dois membros da igualdade, temos:

Assim:

-2x = 6 x = -3

3. Equação do 1º Grau

Chamamos de equação do 1º grau as equações do tipo:

onde a e b são números conhecidos com a 0.

Exemplo:

3x – 5 = 0 (a = 3 e b = –5)

Para resolvermos uma equação do 1º grau, devemos isolar a incógnita em um dos membros da igualdade, usando as propriedades P1 e P2 do item anterior.

Exemplo:

3x – 5 = 0

3x - 5 3x - 5 + 5 = 0 + 5

3x - 5 = 0 3x = 5

3x = 5

3x = 5

Assim: 3x - 5 = 0

De modo abreviado, fazemos:

3x - 5 = 0 3x = 5

Assim:

Podemos estabelecer uma fórmula para resolver em R a equação:

Assim:

ax + b = 0 ax = -b

Exemplo:

Resolver em R a equação:

2x + 5 = 0

4. Problemas do 1º Grau

Problema é uma proposição a resolver, na qual figuram elementos conhecidos ou supostamente conhecidos, chamados dados, e elementos desconhecidos, chamados incógnitas.

Resolver um problema é determinar os valores das incógnitas que satisfazem às condições impostas pelo enunciado.

A resolução de um problema possui três fases:

1) Colocar o problema em equação;

2) Resolver a equação ou equações do problema;

3) Interpretar os resultados ou fazer uma discussão sobre eles.

Exercícios Resolvidos

Resolver as equações:

01. 3x – 5 = 2x + 6

Resolução

3x – 2x = 6 + 5

x = 11

S = {11}

02. 2 (x + 3) + 3 (x – 1) = 7 (x + 2)

Resolução

2x + 6 + 3x – 3 = 7x + 14

2x + 3x – 7x = 14 + 3 – 6

–2x = 11